Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas con ejemplos prácticos

Las ecuaciones logarítmicas pueden resultar un tanto complejas a la hora de resolverlas, pero no te preocupes, en este artículo te enseñaremos cómo resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas paso a paso. En particular, abordaremos la solución del sistema logarítmico log 3 4x log 2 5y log 4 7 log 7 8x log 2 3y log 9 log 3 7x 4 9y log 0 0123. Descubre con nosotros cómo aplicar las propiedades y técnicas adecuadas para obtener la solución correcta de este sistema de ecuaciones logarítmicas.

Cómo resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas

Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas puede parecer complicado al principio, pero siguiendo los pasos adecuados es posible llegar a la solución. En este artículo te explicaremos cómo resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

log₃(4x) + log₂(5y) + log₄(7) = log₇(8x) + log₂(3y) + log₉(1)

log₃(7x) + 4log₉(y) = log_0.0123(1)

Paso 1: Identifica las propiedades de los logaritmos

Antes de empezar a resolver el sistema de ecuaciones, es importante tener en cuenta algunas propiedades de los logaritmos:

• log(a) + log(b) = log(ab)
• log(a) - log(b) = log(a/b)
• log(aⁿ) = nlog(a)

Paso 2: Agrupa los términos

Para resolver el sistema de ecuaciones, es necesario agrupar los términos con las mismas variables y aplicar las propiedades de los logaritmos. En este caso, podemos agrupar los términos de la siguiente manera:

log₃(4x) + log₇(8x) = log₂(15y)

log₉(y⁴) = log₃(7x)

Paso 3: Aplica las propiedades de los logaritmos

Una vez agrupados los términos, se pueden aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar las ecuaciones:

log₃(32x²) = log₂(15y)

log₃(y⁴) = log₃(7x)

32x² = 15y

y⁴ = 7x

Paso 4: Resuelve el sistema de ecuaciones

Una vez simplificadas las ecuaciones, podemos resolver el sistema de ecuaciones:

32x² = 15y

y⁴ = 7x

Reemplazando y⁴ en la primera ecuación:

32x² = 7y⁴

Sustituyendo y⁴ por 7x:

32x² = 7(7x)

32x² = 49x

x = 49/32

Sustituyendo x en la ecuación y⁴ = 7x:

y⁴ = 7(49/32)

y⁴ = 343/32

y = (343/32)^1/4

Conclusión

Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas puede parecer complicado al principio, pero siguiendo los pasos adecuados es posible llegar a la solución. En este caso, aplicando las propiedades de los logaritmos y resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que x = 49/32 y y = (343/32)^1/4.

Preguntas frecuentes

• ¿Qué es un sistema de ecuaciones logarítmicas?
• ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones logarítmicas?
• ¿Qué es la propiedad de cambio de base?
• ¿Cómo se usa la propiedad de cambio de base para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas?

¿Qué es un sistema de ecuaciones logarítmicas?

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un conjunto de ecuaciones que involucran logaritmos de diferentes bases y variables. En este caso, el sistema es:

log₃(4x) + log₂(5y) + log₄(7) = log₇(8x) + log₂(3y) + log₉(7x) - log_0.0123(4/9y)

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones logarítmicas?

Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas, se utilizan propiedades de los logaritmos para simplificar las ecuaciones y obtener una ecuación con una sola variable. Luego, se resuelve esa ecuación para obtener la solución de la variable. Este proceso se repite hasta obtener todas las soluciones del sistema.

¿Qué es la propiedad de cambio de base?

La propiedad de cambio de base establece que cualquier logaritmo puede expresarse como el cociente de dos logaritmos de bases diferentes. Es decir:

log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)

¿Cómo se usa la propiedad de cambio de base para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas?

Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas, se puede utilizar la propiedad de cambio de base para convertir todos los logaritmos a una misma base. Luego, se simplifican las ecuaciones utilizando otras propiedades de los logaritmos y se obtiene una ecuación con una sola variable. Por ejemplo, en el sistema:

log₃(4x) + log₂(5y) + log₄(7) = log₇(8x) + log₂(3y) + log₉(7x) - log_0.0123(4/9y)

Se puede utilizar la propiedad de cambio de base para convertir todos los logaritmos a base 10:

log(4x)/log(3) + log(5y)/log(2) + log(7)/log(4) = log(8x)/log(7) + log(3y)/log(2) + log(7x)/log(9) - log(4/9y)/log(0.0123)

Luego, se pueden utilizar otras propiedades de los logaritmos, como la propiedad de suma o resta de logaritmos, para simplificar la ecuación y obtener una ecuación con una sola variable. Por ejemplo, se puede utilizar la propiedad de suma de logaritmos para combinar los logaritmos de la misma base:

log[(4x)(5y)(7)/(3)(2)(4)] = log[(8x)(3y)(7x)/(7)(2)(9)] + log(4/9y)/log(0.0123)

Finalmente, se puede resolver la ecuación para obtener la solución de la variable y repetir este proceso para obtener todas las soluciones del sistema.